Ответ учителя:

Будем суммировать все положительные числа, пока не встретится 0. Если полученная сумма сразу делится на 3, то нам повезло. Если нет, надо что-то делать - либо прибавлять отрицательные числа, либо вычитать положительные. Я не буду делать различия между ними - в любом случае надо вычитать модули чисел.
- Если сумма дает остаток 1, то надо вычесть или одно число с остатком 1, или два числа с остатком 2 (вычитать три или более числа нерационально: числа, делящиеся на 3, картину не портят; вычитание трёх чисел с одинаковым остатком не влияет на остаток суммы, а среди трёх чисел с остатком 1 или 2 всегда найдутся два одинаковых).
- Аналогично (с точностью до перестановки 1 и 2) поступаем, если сумма даёт остаток 2.
Если после этих всех ухищрений сумма стала отрицательной, просто выводим 0, как будто мы взяли только последний 0.

Код (PascalABC.NET 3.2)
begin
  var sum := 0;
  var mins := MatrFill(2, 2, MaxInt div 2);
  var temp: integer;
  repeat
    temp := readinteger;
    if temp > 0 then
      sum := sum + temp;
    temp := abs(temp);
    var i := temp mod 3 - 1;
    if i > -1 then
      if temp < mins[i, 0] then
        (mins[i, 0], mins[i, 1]) := (temp, mins[i, 0])
      else if temp < mins[i, 1] then
        mins[i, 1] := temp;
  until temp = 0;
  var i := sum mod 3 - 1;
  if i > -1 then
    sum := max(sum - mins[i, 0], sum - mins.Row((i + 1) mod 2).Sum);
  writeln(max(sum, 0))
end. 

---